حل تمرین 5تا7 صفحه 61 ریاضی دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۵ صفحه 61 ریاضی دهم انسانی این مسئله بر ویژگی‌های خاص تابع خطی که از **مبدأ** می‌گذرد، تکیه دارد. ### گام ۱: یافتن ضابطه تابع **1. شرط مبدأ:** «از مبدأ می‌گذرد» یعنی $\mathbf{b = 0}$، پس ضابطه به صورت $\mathbf{f(x) = mx}$ است. **2. یافتن شیب ($athbf{m}$):** از نقطه $\mathbf{(2, 7)}$ استفاده می‌کنیم: $$\mathbf{f(2) = m(2) = 7}$$ $$\mathbf{m = \frac{7}{2} = 3.5}$$ **ضابطه تابع:** $\mathbf{f(x) = 3.5x}$ ### گام ۲: محاسبه اختلاف مقادیر اختلاف $\mathbf{f(0.1)}$ و $\mathbf{f(-0.1)}$ را می‌خواهیم: $$\mathbf{\text{اختلاف} = f(0.1) - f(-0.1)}$$ 1. **محاسبه $\mathbf{f(0.1)}$:** $\mathbf{f(0.1) = 3.5 \times 0.1 = 0.35}$ 2. **محاسبه $\mathbf{f(-0.1)}$:** $\mathbf{f(-0.1) = 3.5 \times (-0.1) = -0.35}$ $$\mathbf{\text{اختلاف} = 0.35 - (-0.35)}$$ $$\mathbf{\text{اختلاف} = 0.35 + 0.35 = 0.7}$$ **پاسخ نهایی:** اختلاف $\mathbf{f(0.1)}$ و $\mathbf{f(-0.1)}$ برابر $\mathbf{0.7}$ یا $\mathbf{\frac{7}{10}}$ است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۶ صفحه 61 ریاضی دهم انسانی این یک مسئله‌ی زیبا درباره **نرخ تغییر (شیب)** در توابع خطی است. در تابع خطی، افزایش (یا کاهش) در متغیر مستقل ($athbf{C}$) ضرب در شیب، برابر با افزایش (یا کاهش) در متغیر وابسته ($athbf{F}$) است. ### گام ۱: تحلیل افزایش دما 1. **تابع:** $\mathbf{F(C) = \frac{9}{5}C + 32}$ 2. **افزایش دما بر حسب سانتی‌گراد:** $\mathbf{\Delta C = 20}$ درجه 3. **شیب تابع:** $\mathbf{m = \frac{9}{5}}$ ### گام ۲: محاسبه افزایش دما بر حسب فارنهایت **افزایش در $athbf{F}$** ($athbf{\Delta F}$) برابر است با شیب ضرب در **افزایش در $athbf{C}$** ($athbf{\Delta C}$): $$\mathbf{\Delta F = m \times \Delta C}$$ $$\mathbf{\Delta F = \frac{9}{5} \times 20}$$ $$\mathbf{\Delta F = 9 \times 4 = 36}$$ **توضیح مفهومی:** چون تابع $athbf{F(C)}$ خطی است، افزایش ۳۲ درجه‌ای (جمله‌ی $athbf{b}$) فقط نقطه‌ی شروع را تغییر می‌دهد و تأثیری بر میزان افزایش ندارد. **پاسخ نهایی:** دمای جسم بر حسب فارنهایت، $\mathbf{36}$ درجه افزایش داشته است.

پاسخ تشریحی و گام به گام تمرین ۷ صفحه 61 ریاضی دهم انسانی در علم اقتصاد، **سود ($athbf{P}$)** برابر است با **درآمد ($athbf{R}$)** منهای **هزینه ($athbf{C}$)**. هر سه تابع، در این مثال، خطی هستند. ### الف) تعیین تابع سود ($athbf{P(x)}$) **گام ۱: تعیین تابع درآمد ($athbf{R(x)}$)** چون هر کالا $\mathbf{70}$ تومان فروخته می‌شود: $$\mathbf{\text{درآمد } R(x) = 70x}$$ **گام ۲: تعیین تابع سود ($athbf{P(x)}$)** $$\mathbf{\text{سود } P(x) = R(x) - C(x)}$$ $$\mathbf{P(x) = 70x - (3000 + 50x)}$$ $$\mathbf{P(x) = 70x - 50x - 3000}$$ $$\mathbf{P(x) = 20x - 3000}$$ **تابع سود:** $\mathbf{P(x) = 20x - 3000}$ **رسم نمودار:** نمودار یک خط راست است با شیب $\mathbf{20}$ و عرض از مبدأ $\mathbf{-3000}$. * **نقطه شروع ($\mathbf{x=0}$):** $\mathbf{P(0) = -3000}$ (هزینه ثابت اولیه) * **نقطه سربه‌سر ($\mathbf{P(x) = 0}$):** $\mathbf{20x - 3000 = 0 \Rightarrow 20x = 3000 \Rightarrow x = 150}$ (نقطه $\mathbf{(150, 0)}$) ### ب) حداقل تعداد کالا برای سوددهی **شرط سوددهی:** سود باید **مثبت** باشد ($athbf{P(x) > 0}$). $$\mathbf{20x - 3000 > 0}$$ $$\mathbf{20x > 3000}$$ $$\mathbf{x > \frac{3000}{20}}$$ $$\mathbf{x > 150}$$ **پاسخ نهایی:** شرکت باید حداقل $\mathbf{151}$ کالا بفروشد تا سوددهی آغاز شود (چون تعداد کالا باید یک عدد صحیح باشد). $\mathbf{x=150}$ نقطه سربه‌سر است (نه سود، نه زیان).